LOGIKA MATEMATIKA

Logika matematika merupakan salah satu materi pelajaran matematika dan cabang logika yang mengandung kajian matematis logika. Secara matematis, logika dapat dianalisis berdasarkan nilai-nilai kebenaran. Logika matematika termasuk salah satu ilmu matematika yang banyak diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari seperti kepolisian yang menggunakan logika matematika untuk menganalisis suatu kasus. Selain itu, logika matematika juga paling banyak diterapkan dalam ilmu komputer, filosofis, dan penarikan kesimpulan dalam pelajaran bahasa Indonesia. Dalam logika matematika akan dibahas bagaimana nilai kebenaran dari suatu pernyataan, ingkaran atau negasi, kesetaraan hingga penarikan kesimpulan yang sah dari beberapa pernyataan atau keadaan

Pernyatan-pernyataan Dalam Logika Matematika

Dalam logika matematika, pernyataan-pernyataan kemudian disajikan dalam bentuk simbol. Berikut ini pernyataan-pernyataan yang terdapat dalam logika matematika :

1. Negasi 

Negasi atau ingkaran adalah suatu pernyataan yang isinya mengingkari suatu nilai pernyataan. Negasi biasa disimbolkan dengan lambang " ~ " yang berarti tidak atau bukan. Jika suatu pernyataan menyatakan bumi adalah bulat maka negasinya adalah bumi tidak bulat

2. Konjungsi

Konjungsi merupakan pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung "dan" atau disimbolkan dengan "∧". Pernyataan konjungsi hanya akan bernilai benar jika kedua pernyataan yang terdapat di dalamnya bernilai benar. Jika salah satu pernyataan bernilai salah, maka pernyataan konjungsi juga bernilai salah

3. Disjungsi

Disjungsi merupakan pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung "atau" yang disimbolkan dengan "∨". Disjungsi merupakan kebalikan dari konjungsi. Pernyataan disjungsi hanya akan bernilai salah jika kedua pernyataan yang terdapat di dalamnya bernilai salah. Jika salah satu pernyataan bernilai benar, maka pernyataan disjungsi juga bernilai benar

4. Implikasi

Implikasi adalah pernyataan majemuk yang diawali dengan kata jika dan dihubungkan dengan kata hubung "maka" yang disimbolkan dengan "→". Misal p → q dibaca jika p maka q

5. Bi-Implikasi

Bi-implikasi merupakan bentuk kompleks dari implikasi yang berarti "jika dan hanya jika" dan disimbolkan dengan "↔". Misal p ↔ q dibaca p jika dan hanya jika q

6. Konvers

Konvers adalah kebalikan dari implikasi ditandai dengan pertukaran letak. Misal implikasi p → q, maka konversnya adalah q → p

7. Invers

Invers merupakan lawan dari implikasi. Pada invers, pernyataan yang terdapat dalam pernyataan majemuk merupakan negasi dari pernyataan pada implikasi. Misal implikasi p → q, maka inversnya adalah ~p → ~q

8. Kontraposisi

Kontraposisi merupakan kebalikan dari invers sama halnya dengan konvers hanya saja pernyataannya merupakan negasi atau ingkaran. Misal invers ~p → ~q, maka kontraposisinya adalah ~q → ~p

TABEL KEBENARAN

Kesetaraan

Kesetaraan merupakan pernyataan-pernyataan yang bernilai sama atau bermakna sama. Kesetaraan dilambangkan dengan " ≡ ". 

~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q  

~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q 

p → q ≡ ~q → ~p 

~(p → q) ≡ (p ∧ ~q) 

~(p ↔ q) ≡ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)

Penarikan Kesimpulan  

1. Modus Ponens 

p → q  

p 

——— 

∴ q  

Contoh : 

Diketahui pernyataan sebagi berikut : 

1. Jika hari libur tiba, maka Rani akan berlibur ke Paris 

2. Hari libur tiba 

Tentukan kesimpulan yang sah dari dua pernyataan tersebut. 

Pembahasan 

Misalkan : 

p = Hari libur tiba 

q = Rani berlibur ke Paris 

Berdasarkan modus Ponens, diperoleh : 

p → q  

p 

——— 

∴ q 

Jadi kesimpulan yang sah adalah Rani berlibur ke Paris 

2. Modus Tollens 

p → q

      ~q 

——— 

∴ ~p 

Contoh : 

Diketahui pernyataan sebagi berikut : 

1. Jika hari ini hujan, maka Lia tidak pergi ke kota 

2. Lia pergi ke kota 

Tentukan kesimpulan yang sah dari dua pernyataan tersebut. 

Pembahasan  

Misalkan : p = Hari ini hujan 

q = Lia tidak pergi ke kota 

~q = Lia pergi ke kota 

Berdasarkan Modus Tollens diperoleh : 

p → q 

      ~q 

——— 

∴  ~p 

Jadi kesimpulan yang sah adalah Hari ini tidak hujan. 

3. Silogisme 

p → q  

q → r 

———— 

∴ p → r 

Contoh : 

Diketahui pernyataan sebagi berikut : 

1. Jika Tio menjadi juara kelas, maka Ibu akan membelikannya sepeda 

2. Jika ibu membelikannya sepeda, maka Tio akan senang 

Tentukan kesimpulan yang sah dari dua pernyataan tersebut. 

Pembahasan  

Misalkan : 

p = Tio menjadi juara kelas 

q = Ibu membelikannya sepeda 

r = Tio senang 

Berdasarkan konsep silogisme diperoleh : 

p → q  

q → r 

———— 

∴ p → r 

Jadi kesimpulan yang sah adalah Jika Tio menjadi juara kelas, maka Tio akan senang.

Demikianlah uraian singkat tentang Materi Logika Matematika, semoga bermanfaat.

Terima kasih.